等差数列求和公式有哪些
等差数列求和公式有哪些
等差数列公式an=a1+(n-1)d
前n项和公式为:Sn=na1+n(n-1)d/2
若公差d=1时:Sn=(a1+an)n/2
若m+n=p+q则:存在am+an=ap+aq
若m+n=2p则:am+an=2ap
第n项的值an=首项+(项数-1)×公差
前n项的和Sn=首项+末项×项数(项数-1)公差/2
公差d=(an-a1)÷(n-1)
项数=(末项-首项)÷公差+1
数列为奇数项时,前n项的和=中间项×项数
数列为偶数项,求首尾项相加,用它的和除以2
等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列
以上n均为正整数
等差数列求和的基本方法
等差数列是常见数列的一种,首先我们看一下他的定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,而这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示。例如:1,3,5,7,9……(2n-1),他的公差是2。
他的推导公式及其证明思路要看清楚,并且一定要自己亲自动手重新证明下,就算是写一下也是好的。总之概念的东西一定要把它吃透,后面的东西都是围绕概念来展开的,他是核心。还有他的很多性质,在书中的证明的启发下,可以自己尝试证明,这样以期收到深刻的印象,和真正深入透彻了解数列求和,抓住核心!
从其定义来看,要求和。我们可以把主要着眼点:公差、性质。弄清楚这两点之后根据题目来审题,找出隐含条件来。
等差数列公式
1.定义式
2.通项公式
3.求和公式
4.前n项和公式
等差数列推论
(1)从通项公式可以看出,a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由前n项和公式知,S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0。
(2)从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1),(类似:p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1)),k∈{1,2,…,n}。
(3)若m,n,p,q∈N__,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q),S(2n-1)=(2n-1)__a(n),S(2n+1)=(2n+1)__a(n+1),S(k),S(2k)-S(k),S(3k)-S(2k),…,S(n)__k-S(n-1)__k…成等差数列,等等。若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2__a(p)。
证明:p(m)+p(n)=b(0)+b(1)__m+b(0)+b(1)__n=2__b(0)+b(1)__(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)__p+b(0)+b(1)__q=2__b(0)+b(1)__(p+q);因为m+n=p+q,所以p(m)+p(n)=p(p)+p。
(4)其他推论:
①和=(首项+末项)×项数÷2;
②项数=(末项-首项)÷公差+1;
③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×(项数-1);
④末项=2x和÷项数-首项;
⑤末项=首项+(项数-1)×公差;
⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。
数列求和方法
1、公式法
2、错位相减法
3、倒序相加法
4、分组法
5、裂项相消法
6、数学归纳法
7、通项化归法
先将通项公式进行化简,再进行求和。
如:求数列1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出,再利用分组等方法求和。
8、并项求和法
(常采用先试探后求和的方法)
例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n
方法一:(并项)
求出奇数项和偶数项的和,再相减。
方法二:
(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]
方法三:
构造新的数列,可借用等差数列与等比数列的复合。
an=n(-1)^(n+1)
9、求和公式