双曲线的相关知识点
双曲线的相关知识点总结
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x',y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时,λa与a同方向;
当λ<0时,λa与a反方向;
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
双曲线的定义
(1)平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。
(2)平面内,到给定一点及一直线的距离之比为常数e(e=c/a(e>1),即为双曲线的离心率)的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的方程为x=±a?/c(焦点在x轴上)或y=±a?/c(焦点在y轴上)。
(3)一平面截一圆锥面,当截面与圆锥面的母线不平行,且与圆锥面的两个圆锥都相交时,交线称为双曲线。
(4)在平面直角坐标系中,二元二次方程F(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0满足以下条件时,其图像为双曲线。(a、b、c不都是零,b2-4ac>0)
双曲线的标准方程
标准方程1:焦点在X轴上时为x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)
标准方程1:焦点在Y轴上时为y2/a2-x2/b2=1(a>0,b>0)
双曲线取值范围:│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)
双曲线对称性:关于坐标轴和原点对称,其中关于原点成中心对称。
1、双曲线顶点
A(-a,0),A'(a,0)。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a。
B(0,-b),B'(0,b)。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b。
F1(-c,0)或(0,-c),F2(c,0)或(0,c)。F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c
对实轴、虚轴、焦点有:a2+b2=c2
2、双曲线离心率
第一定义:e=c/a 且e∈(1,+∞)
第二定义:双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e。
d点│PF│/d线(点P到定直线(相应准线)的距离)=e
3、双曲线的准线
焦点在x轴上:x=±a2/c
焦点在y轴上:y=±a2/c
双曲线的性
1、取值区域:
x≥a,x≤-a或者y≥a,y≤-a
2、对称性:
关于坐标轴和原点对称。
3、顶点:
A(-a,0)A’(a,0)AA’叫做双曲线的实轴,长2a;B(0,-b)B’(0,b)BB’叫做双曲线的虚轴,长2b。
4、渐近线:
横轴:y=±(b/a)x竖轴:y=±(a/b)x
5、离心率:
e=c/a取值范围:(1,+∞)
6、双曲线上的一点到定点的距离和到定直线(相应准线)的距离的比等于双曲线的离心率。
7、双曲线焦半径公式:
圆锥曲线上任意一点到焦点距离。过右焦点的半径r=|ex-a|;过左焦点的半径r=|ex+a|
8、等轴双曲线
双曲线的实轴与虚轴长相等,2a=2b e=√2
9、共轭双曲线
(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1与(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1叫共轭双曲线
(1)共渐近线
(2)e1+e2>=2√2
10、准线:
x=±a^2/c,或者y=±a^2/c
质
双曲线的焦距是什么
一般的,双曲线(希腊语“?περβολ?”,字面意思是“超过”或“超出”)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍,这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上,它们的中间点叫做中心,中心一般位于原点处。
在数学中,双曲线(多重双曲线或双曲线)是位于平面中的一种平滑曲线,由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片,称为连接的组件或分支,它们是彼此的镜像,类似于两个无限弓。
双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。(其他圆锥部分是抛物线和椭圆,圆是椭圆的特殊情况)如果平面与双锥的两半相交,但不通过锥体的顶点,则圆锥曲线是双曲线。