高中数学关于双曲线的经典试题
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未知2
数学备考
高中数学经典试题：已知双曲线C的中点在原点，焦点在x轴上，点P（-2，0）与其渐进线的距离为（根号10）／5，过P作斜率为1/6的直线交双曲线于A，B两点，交y轴于点M，且?PM是PA与PB的等比中项．
⑴求双曲线C的渐进线方程
⑵求双曲线C的方程
高中数学经典试题答案
第一问设渐近线方程为y=±kx，利用点到直线的距离，求出k=±1/3，可求得渐近线方程为y=±1/3x，
第二问解答如下
设：A(x1，y1)B（x2，y2）
直线为y=(1/6)*(x+2)，与y轴相交，即x=0时y=1/3
所以M(0，1/3)
|PM|是|PA|与|PB|的等比中项，即|PA|：|PM|=|PM|：|PB|
画个图可知他们是相似三角形
所以有：|y1|：(1/3)=(1/3)：|y2|
由于A、B必在x轴的两侧，所以y1，y2其中的一个必是负的
因此上式整理为：1/9=-y1*y2
再把直线和双曲线联立解方程组，要消x留y
其中双曲线的a=3b
得到一个关于y的一元二次方程
过程我省略了，方程是：27y^2-24y+4-b^2=0
则y1*y2=(4-b^2)/27
因此b^2=5
则a^2=45
方程就求出来了
⑴求双曲线C的渐进线方程
⑵求双曲线C的方程
高中数学经典试题答案
第一问设渐近线方程为y=±kx，利用点到直线的距离，求出k=±1/3，可求得渐近线方程为y=±1/3x，
第二问解答如下
设：A(x1，y1)B（x2，y2）
直线为y=(1/6)*(x+2)，与y轴相交，即x=0时y=1/3
所以M(0，1/3)
|PM|是|PA|与|PB|的等比中项，即|PA|：|PM|=|PM|：|PB|
画个图可知他们是相似三角形
所以有：|y1|：(1/3)=(1/3)：|y2|
由于A、B必在x轴的两侧，所以y1，y2其中的一个必是负的
因此上式整理为：1/9=-y1*y2
再把直线和双曲线联立解方程组，要消x留y
其中双曲线的a=3b
得到一个关于y的一元二次方程
过程我省略了，方程是：27y^2-24y+4-b^2=0
则y1*y2=(4-b^2)/27
因此b^2=5
则a^2=45
方程就求出来了