函数的单调性数学教案及反思
函数的单调性数学教案
3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程.
【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明.
【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.
【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习.
【教学手段】 计算机、投影仪.
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
课前布置任务：
(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.
(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.
课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.
下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考.
问题：观察图形，能得到什么信息?
预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到;
(2)在某时刻的温度;
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.
在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.
问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗?
预案：水位高低、燃油价格、股票价格等.
归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小.
〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣.
二、归纳探索，形成概念
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.
1.借助图象，直观感知
问题1：分别作出函数
的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律?
预案：(1)函数
在整个定义域内 y随x的增大而增大;函数
在整个定义域内 y随x的增大而减小. (2)函数
在
上 y随x的增大而增大，在
上y随x的增大而减小. (3)函数
在
上 y随x的增大而减小，在
上y随x的增大而减小.
引导学生进行分类描述 (增函数、减函数).同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
预案：如果函数
在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数
在该区间上为增函数;如果函数
在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数
在该区间上为减函数.
教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识.
〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识.
2.探究规律，理性认识
问题1：下图是函数
的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗?
学生的困难是难以确定分界点的确切位置.
通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.
〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.
问题2：如何从解析式的角度说明
在
为增函数? 预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为12<22,所以
在
为增函数. (2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以
在
为增函数. (3) 任取
,因为
,即
，所以
在
为增函数. 对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量
.
〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.
3.抽象思维，形成概念
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.
(1)板书定义
(2)巩固概念
判断题：
①
. ②若函数
. ③若函数
在区间
和(2,3)上均为增函数，则函数
在区间(1,3)上为增函数. ④因为函数
在区间
上都是减函数，所以
在
上是减函数.
通过判断题，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数).
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在
上是增(或减)函数.
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?
〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.
三、掌握证法，适当延展
例 证明函数
在
上是增函数.
1.分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流.
证明：任取
, 设元
求差
变形
,
断号 ∴
∴
即
∴函数
在
上是增函数. 定论
2.归纳解题步骤
引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.
练习：证明函数
在
上是增函数. 问题：要证明函数
在区间
上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的
，且
有
可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数
在
上是增函数.
〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.
四、归纳小结，提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结.
1.小结
(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.
(2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论.
(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等.
2.作业
书面作业：课本第60页 习题2.3 第4，5，6题.
课后探究：
(1) 证明：函数
在区间
上是增函数的充要条件是对任意的
，且
有
. (2) 研究函数
的单调性，并结合描点法画出函数的草图.
函数的单调性教学反思
在教学《函数的单调性》时,教学过程是这样的:
教师引导学生观察一次函数、二次函数、反比例函数等的图像后给出了函数的单调性等概念,然后组织学生根据图像找出单调区间,运用概念对一些简单函数的单调性做出判断,紧接着在这节课上又把函数的四则运算的单调性及复合函数的单调性进行渗透.
本节课是一节概念课.函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一.另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达.
围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：
1、重视学生的亲身体验.具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系.如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y随x的增大而增大”的理解;②运用新知识尝试解决新问题.如：对函数 在定义域上的单调性的讨论.
2、重视学生发现的过程.如：充分暴露学生将函数图象(形)的特征转化为函数值(数)的特征的思维过程;充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程.
3、重视学生的动手实践过程.通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义.
4、重视课堂问题的设计.通过对问题的设计，引导学生解决问题.
从教的角度评析这节课很到位,但从学的视角去评价就会发现:教师为了营造轻松愉快的课堂气氛,注重了学生学习兴趣的培养,但过于心切,总想尽快地“直奔主题”把主要内容教授给学生后进行习题训练;而让学生经历实践，然后通过探讨等得出概念的过程却在师生间的简单问答中滑过,学生的思维情绪始终处于压抑状态,使得教学无法向纵深发展,知识目标的完成受到影响,学生必要的能力得不到良好训练,学习情感得不到有效激发.
由此,教学设计很有必要从以下几个方面进行改进:在新授课上,应从学生的已有知识和生活经验出发,围绕知识目标展开新知识出现的情境,适当推迟新知识得出时间,丰富学生的情感体验,在知识目标得到有效落实的同时,达成能力目标.在习题课上,应以能力培养为核心,注重在知识网络的交汇点设计问题,突出基础知识的应用和基本技能的运用,强化知识目标,广泛建立知识之间的联系,培养学生学习数学的情感,在知识应用课上,应强调数学走向生活,解决具有现实意义的生活问题,培养学生的数学建模能力.
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