高三数学月考试题附答案
高三数学月考试题一、选择题
1.已知集合 , ,则 ( B )
A. B. C. D.
2. 下列函数中既是奇函数，又在 上单调递增的是 ( C )
A. B. C. D.
3. 给出两个命题:命题 命题“存在 ”的否定是“任意 ”;命题 ：函数 是奇函数. 则下列命题是真命题的是( C )
A. B. C. D.
4.若函数f(x)=x2-ax- a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于( D )
A.-1 B.1 C.-2 D. 2
5 已知函数 是函数 的导函数，则 的图象大致是( A )
A. B. C. D.
6.已知命题p：x2+2x-3>0;命题q：x>a，且 的一个充分不必要条件是 ，则a的取值范围是 ( B )
A.(-∞，1] B.[1，+∞) C.[-1，+∞) D.(-∞，-3]
7.7. 已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 ( B )
A.(0，2) B.(-∞，1] C.(-∞，1) D.(0，2]
8.若f(x)=ax，x>1，4-a2x+2，x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( C )
A.(1，+∞) B.(4，8) C.[4，8) D.(1，8)
9. 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当 时，不等式 成立，若a=30.2 f(30.2)，b= (logπ2) f(logπ2)， c= f ，则 ， ， 间的大小关系 ( A )
A. B. C. D.
10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增.若实数a满足f( )+f( )≤2f(2)，则a的取值范围是( D)
A.(-∞，4] B. (0，4] C. D.
11.(文)已知 是奇函数，则 ( A )
A..14 B. 12 C. 10 D.-8
11. (理)若函数 的大小关系是 (C )
A. B.
C. D.不确定
12.已知函数y=f(x)为奇函数，且 对定义域内的任意x都有f(1+x)=-f(1-x).当x∈(2，3)时，f(x)=log2(x-1).给出以下4个结论：其中所有正确结论的为 ( A )
①函数y=f(x)的图象关于点(k，0)(k∈Z)成中心对称;
②函数y=|f(x)|是以2为周期的周期函数;
③函数y=f(|x|)在(k，k+1)(k∈Z)上单调递增;
④当x∈(-1，0)时，f(x)=-log2(1-x).
A.①②④ B.②③ C.①④ D.①②③④
高三数学月考试题二、填空题
(本大题共有4道小题，每小题5分,共20分)
13.已知实数 满足 则 的最大值__-4_______
14. 已知 ，则函数 在点 处的切线 与坐标轴围成的三角形面积为 .
15. 若函数 ( )满足 且 时， ,函数 ,则函数 在区间 内零点的个数有__12_个.
16. 存在区间 ( )，使得 ，
则称区间 为函数 的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数：
① ;② ;③ ; ④
其中存在“ 稳定区间”的函数有②__③_ .(把所有正确的序号都填上)
高三数学月考试题三、解答题
(本大题共有5道小题，每小题12分,共60分)
17.(本小题满分12分)
设向量 ， ，其中 ， ，函数
的图象在 轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为 ，在原点右侧与 轴的第一个交点为 .
(Ⅰ)求函数 的表达式;
(Ⅱ)在 中，角A，B，C的对边分别是 ，若 ，
且 ，求边长 .
解：解：(I)因为 ， -----------------------------1分
由题意 ， -----------------------------3分
将点 代入 ，得 ，
所以 ，又因为 -------------------5分
即函数的表达式为 . --- ------------------6分
(II)由 ，即
又 ------------------------8分
由 ，知 ，
所以 -----------------10分
由余弦定理知
所以 ----------------------------------- -----------------12分
18.(文)(本小题满分12分)为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：
评估的平均得分
全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀
(Ⅰ)求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级;
(Ⅱ)用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
【解析】：
(Ⅰ)6条道路的平均得分为 .-----------------3分
∴该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分
(Ⅱ)设 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 ”. -----7分
从 条道路中抽取 条的得分组成的所有基本事件为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 个基本事件. -----------------9分
事件 包括 ， ， ， ， ， ， 共 个基本事件，
∴ .
答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 的概率为 .------12分
18.(理)(本小题满分l 2分)
在2015年全国高校自主招生考试中，某高校设 计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题.规定：至少正确回答其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答;考生乙每题正确回答的概率都为23，且每题正确回答与否互不影响.
(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望;
(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力.
解析：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ的可能取值为1，2，3，P(ξ=1)=C14C22C36=15 ，P(ξ=2)=C24C12C36=35，P(ξ=3)=C34C02C36=15，
∴考生甲正确完成题数的 分布列为
ξ 1 2 3
P 15
35
15
Eξ=1×15+2×35+3×15=2. ………………………………………..4分
又η～B(3，23)，其分布列为P(η=k)=Ck3•(23)k•(13)3-k，k=0，1，2，3;
∴Eη=np=3×23=2. ………………………………………6分
(II)∵Dξ=(2-1)2×15+(2-2)2×35+(2-3)2×15=25，
Dη=npq=3×23×13=23， ∴Dξ
∵P(ξ≥2)=35+15=0.8，P(η≥2)=1227+827≈0.74，∴P(ξ≥2)>P(η≥2). ………………10分
从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当;从回答对题数的方差考查，甲较稳定;从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验通过能力较强.………………12分
19(理)在四棱锥 中， 平面 ， 是 的中点，
, , .
(Ⅰ)求证： ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
解：(Ⅰ)取 的中点 ,连接 , ,
则 ∥ .
因为
所以 .………………………………1分
因为 平面 ， 平面
所以
又
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………3分
因为 平面 ,所以 ⊥ ;
又 ∥ ，所以 ;
又因为 , ;
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………5分
因为 平面 ，所以 …………………… ……6分
(注：也可建系用向量证明)
(Ⅱ)以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 , , ， , ,
， .
………………………………………………8分
设平面 的法向量为 ，则 所以
令 .所以 . ……………………9分
由(Ⅰ)知 ⊥平面 , 平面 ,所以 ⊥ .
同理 ⊥ .所以 平面
所以平面 的一个法向量 . …………………10分
所以 ， ……………………11分
由图可知，二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 . ……………………12分
19.(文)在四棱锥 中， 平面 ，
是 的中点， ,
， .
(Ⅰ)求证： ∥平面 ;
(Ⅱ)求证： .
证明：(Ⅰ)取 的中点 ,连接 , .
则有 ∥ .
因为 平面 ， 平面
所以 ∥平面 .……………………2分
由题意知 ,
所以 ∥ .
同理 ∥平面 .…………………4分
又因为 平面 , 平面 ,
所以 平面 ∥平面 .
因为 平面
所以 ∥平面 . ……………………………………………………………6分
(Ⅱ)取 的中点 ,连接 , ,则 ∥ .
因为 ,所以 .………………………………… ……7分
因为 平面 ， 平面 ，所以
又
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………9分
因为 平面 所以 ⊥
又 ∥ ，所以
又因为 ,
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………11分
因为 平面
所以 ………………………………………………………………12分
20. (本小题满分12分) 已知椭圆 的离心率为 ，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 相切..
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线 与椭圆C相交于A、B两点，且 ，判断△AOB的面积是否为定值?若为定值，求出定值;若不为定值，说明理由.
【解析】：
(1)由题意知 ，∴ ，即 ，
又 ，∴ ，
故椭圆的方程为 4分
(II)设 ，由 得
12分
21.(文)已知函数 ，其中a∈R.
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线的斜率;
(2)当 时，求函数 的单调区间与极值.
解：(1)当a=0时，f(x)=x2ex，f′(x)=(x2+2x)ex，故f′(1)=3e.
所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e. …4分
(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a] ex
令f′(x)=0，解得x=-2a，或x=a-2， …6分
由a≠23知，-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论：
①若a>23，则-2a
x (-∞，-2a) -2a (-2a，a-2) a-2 (a-2，+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
所以f(x)在(-∞，-2a)，(a-2，+∞)上是增函数，在(-2a，a-2)上是减函数.
函数f(x)在x=-2a处取得极大值为f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a.
函数f(x)在x=a-2处取得极小值为f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2. …9分
②若a<23，则-2a>a-2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (-∞，a-2) a-2 (a-2，-2a) -2a (-2a，+∞)
f′(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
所以f(x)在(-∞，a-2)，(-2a，+∞)上是增函数，在(a-2，-2a)上是减函数.
函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a. …12分
21. (理)已知函数 ( ).
(1) 当 时，证明：在 上， ;
(2)求证： .
解：(1) 根据题意知，f′(x)=a1-xx (x>0)，
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，+∞);
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，+∞)，单调递减区间为(0,1];
当a=0时，f(x)不是 单调函数.
所以a=-1时，f( x)=-ln x+x-3， 在(1，+∞)上单调递增，
所以f(x)>f(1 )，
即f(x)>-2，所以f(x)+2>0. …………6分
(2) 由(1)得-ln x+x-3+2>0，即-ln x+x-1> 0，
所以ln x
则有0
∴ln 22•ln 33•ln 44•…•ln nn < 12•23•34•…•n-1n=1n(n≥2，n∈N*). …12分
高三数学月考试题四、选考题
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD.
(Ⅰ )求证：直线AB是⊙O的切线;
(Ⅱ)若tan∠CED=12，⊙O的半径为3，求OA的长.
解：(1)证明：连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥OB，又∵OC是圆的半径，∴AB是圆的切线. ……4分
(2)∵ED是直径，∴∠ECD=90°，∴∠E+∠EDC=90°，
又∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E，又∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，∴BCBE=BDBC⇒BC2=BD•BE，
又tan∠CED=CDEC=12，△BCD∽△BEC，BDBC=CDEC=12，
设BD=x，则BC=2x，∵BC2=BD•BE，∴(2x)2=x(x+6)，∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5. ……10分
23.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线 (t为参数)， ( 为参 数).
(Ⅰ)化 ， 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;
(Ⅱ)过曲线 的左顶点且倾斜角为 的直线 交曲线 于 两点，求 .
解：⑴
曲线 为圆心是 ，半径是1的圆.
曲线 为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆.……4分
⑵曲线 的左顶点为 ，则直线 的参数方程为 ( 为参数)
将其代入曲线 整理可得： ，设 对应参数分别为 ，则
所以 ……………10分
24.(本小题满分10分)选 修4—5：不等式选讲
已知函数 ，且 的解集为 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)若 ，且 ，求证： .
解：(Ⅰ)因为 ，所以 等价于 ，…2分
由 有解，得 ，且其解集为 . …4分
又 的解集为 ，故 .…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，又 ， …7分∴ ≥ =9.9分
(或展开运用基本不等式)
∴ ….10分
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