高考数学基本不等式专项练习题附答案
高考数学基本不等式专项练习题一、填空题
[解析] 由log2x+log2y=1得log2(xy)=1,
xy=2且x>0,y>0,x+2y≥2=4.
当且仅当x=2y即x=2,y=1时,x+2y取得最小值4.
[答案] 4
2.(2013·山东高考改编)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则的最大值是________.
[解析] 由题设,得z=x2-3xy+4y2,
==,
又x,y,z大于0,
+≥4,故≤1.
当且仅当x=2y时,等号成立,则的最大值为1.
[答案] 1
3.(2014·苏州调研)若x>2,则x+的最小值为________.
[解析] x>2,
x-2>0,x+=x-2++2≥2+2=4,
当x-2=即x=3时等号成立,
x+的最小值为4.
[答案] 4
4.(2014·扬州中学检测)设x,y均为正实数,且+=1,则xy的最小值为________.
[解析] 由已知解出y=-2,
那么xy=x=-2x=x+9+,
x,y为正实数,y>0,则x>1,x-1>0,
x+9+=(x-1)++10≥2+10=16,
当且仅当x-1=,即x=4时等号成立,故所求最小值为16.
[答案] 16
5.(2014·泰州调研)关于x的方程x2+2px+2-q2=0(p>0,q>0)有两个相等的实根,则p+q的取值范围是________.
[解析] 由题意,Δ=4p2-4(2-q2)=0,即p2+q2=2,
又(p+q)2=p2+q2+2pq≤2(p2+q2)=4.
所以00,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值是________.
[解析] a>0,b>0,
+≥恒成立,等价于m≤5++恒成立.
又5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=b时,等号成立.
m≤9,则m的最大值为9.
[答案] 9
8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(xN*).则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.
[解析] 每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元.
[答案] 5 8
高考数学基本不等式专项练习题二、解答题
9.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,
求:(1)xy的最小值;(2)x+y的最小值.
[解] x>0,y>0,2x+8y-xy=0,
(1)xy=2x+8y≥2,
≥8,xy≥64.
故xy的最小值为64.
(2)由2x+8y=xy,得:+=1.
x+y=(x+y)·1=(x+y)
=10++≥10+8=18.
故x+y的最小值为18.
10.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:++≥9.
[证明] ++=++
=3+++
≥3+2 +2 +2
=3+2+2+2=9.
当且仅当a=b=c=时取等号,
++≥9.
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