高中数学平面向量的数量积练习题及答案
高中数学平面向量的数量积练习题一、填空题
1.(2014·泰州质检)在ABC中，若AB=1，AC=，|+|=||，则=________.
[解析] 由平行四边形法则，|+|=||=||，故A，B，C构成直角三角形的三个顶点，且A为直角，从而四边形ABDC是矩形.
由||=2，ABC=60°，
==.
[答案]
2.(2013·湖南高考改编)已知a，b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的最大值为________.
[解析] a，b是单位向量，|a|=|b|=1.
又a·b=0，a⊥b，|a+b|=.
|c-a-b|2=c2-2c·(a+b)+2a·b+a2+b2=1.
c2-2c·(a+b)+1=0.2c·(a+b)=c2+1.
c2+1=2|c||a+b|cos θ(θ是c与a+b的夹角).
c2+1=2|c|cos θ≤2|c|.c2-2|c|+1≤0.
-1≤|c|≤+1.|c|的最大值为+1.
[答案] +1
高中数学平面向量的数量积练习题二、解答题
3.设两向量e1，e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
[解] 由已知得e=4，e=1，e1·e2=2×1×cos 60°=1.
(2te1+7e2)·(e1+te2)=2te+(2t2+7)e1·e2+7te=2t2+15t+7.
欲使夹角为钝角，需2t2+15t+7<0，得-7
设2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0)，
∴2t2=7.t=-，此时λ=-.
即t=-时，向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.
当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是.
平面向量应用举例专项测试题
一、填空题
1.(2013·课标全国卷)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·=________.
[解析] 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，
∴=(1,2)，=(-2,2)，
·=1×(-2)+2×2=2.
[答案] 2
2.已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(m，m+1)，若，则实数m的值为________.
[解析] 依题意得，=(3,1)，
由，
得3(m+1)-m=0，m=-.
[答案] -
3.(2014·徐州调研)已知a=(1,2)，2a-b=(3,1)，则a·b=________.
[解析] a=(1,2)，2a-b=(3,1)，
b=2a-(3,1)=2(1,2)-(3,1)=(-1,3).
a·b=(1,2)·(-1,3)=-1+2×3=5.
[答案] 5
4.(2013·常州市高三教学期末调研测试)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴正半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则·的最大值为________.
[解析] 根据题意得：M(2,0)，N(0,2).设P(2cos θ，2sin θ)，
则=(2-2cos θ，-2sin θ)，=(-2cos θ，2-2sin θ)，
所以·=-4cos θ+4cos2θ-4sin θ+4sin2θ
=4-4(sin θ+cos θ)=4-4sin，
因为-1≤sin≤1，所以4-4≤·≤4+4，
所以·的最大值为4+4.
[答案] 4+4
5.(2014·宿迁调研)已知点A(-2,0)，B(0,0)，动点P(x，y)满足·=x2，则点P的轨迹方程是________.
[解析] =(-2-x，-y)，=(-x，-y)，则
·=(-2-x)(-x)+(-y)2=x2，
y2=-2x.
[答案] y2=-2x
6.(2014·常州质检)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|+|=|-|，其中O为原点，则正实数a的值为________.
[解析] 由|+|=|-|，知，
|AB|=2，则得点O到AB的距离d=，
=，
解得a=2(a>0).
[答案] 2
7.(2014·南京、盐城二模)已知||=1，||=2，AOB=，=+，则与的夹角大小为________.
[解析] 令=，=，因为||=1，||=2，所以||=||，由=+=+，得四边形OA1CB1为菱形.因为菱形对角线平分所对角，因此AOC=60°.
[答案] 60°
8.如图443，在ABC中，AB=AC，BC=2，=，=.若·=-，则·=________.
图443
[解析] 建立如图所示的直角坐标系，则·=·(1，-a)=-=-，解得a=2，所以=，=(-1，-2)，所以·=-.
[答案] -
二、解答题
9.(2014·苏北四市质检)已知向量a=(cos θ，sin θ)，b=(2，-1).
(1)若a⊥b，求的值;
(2)若|a-b|=2，θ，求sin的值.
[解] (1)由a⊥b可知，a·b=2cos θ-sin θ=0，所以sin θ=2cos θ，
所以==.
(2)由a-b=(cos θ-2，sin θ+1)，可得|a-b|===2，
即1-2cos θ+sin θ=0，
又cos2θ+sin2θ=1，且θ，
由可解得
所以sin=(sin θ+cos θ)
==.
10.已知向量a=(cos x，sin x)，b=(sin 2x,1-cos 2x)，c=(0,1)，x(0，π).
(1)向量a，b是否共线?并说明理由;
(2)求函数f(x)=|b|-(a+b)·c的最大值.
[解] (1)b=(sin 2x,1-cos 2x)=(2sin xcos x,2sin2 x)
=2sin x(cos x，sin x)=2sin x·a，且|a|=1，即a≠0.
a与b共线.
(2)f(x)=|b|-(a+b)·c
=2sin x-(cos x+sin 2x,1-cos 2x+sin x)·(0,1)
=2sin x-1+cos 2x-sin x=sin x-1+1-2sin2x
=-2sin2x+sin x=-22+.
当sin x=时，f(x)有最大值.
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