国家公务员考试行测容斥问题答题技巧

　　国家公务员考试行测容斥问题答题技巧

　　容斥问题即包含与排斥问题，它是一种计数问题。在计数时，几个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分，采用这种计数方法的题型称为容斥问题。

　　二、题目特点

　　题目中给出多个概念，概念之间存在交叉关系。

　　三、常考题型

　　1、二者容斥问题

　　公式：覆盖面积=A+B-A与B的交集

　　例1:大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少?

　　A.6 B.7 C.8 D.9

　　解析：两个概念分别的奥运会志愿者和全运会志愿者，设班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有X人，则有10+17-X+30= 50,所以X=7,即班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有7人。

　　2.三者容斥问题

　　公式：覆盖面积=A+B+C-两者交-2×三者交

　　例2:某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人?

　　A、69 B、65 C、57 D、46

　　解析：三个概念分别是甲片、乙片、丙片，假设只看过其中两部电影的人数有X人，则89+47+63-X-2×24+20=125.所以X=46.即只看过其中两部电影的人数有46人。

　　3.容斥极值问题

　　容斥极值最常考的就是容斥交集的最小值，我们可以套用公式解决。

　　①(A∩B)=A+B-I (I表示全集)

　　②(A∩B∩C)=A+B+C-2I

　　③(A∩B∩C∩D)=A+B+C+D-3I

　　例3:小明、小刚、小红、小英四人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了79题，小刚做对了88题，小红做对了91题，小英作对了89.

　　问题：

　　①小明和小刚都最对的题目至少有几题?

　　②小明、小刚、小红都最对的题目至少有几题?

　　③小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有几题?

　　解析：

　　①小明和小刚都最对的题目至少有79+88-100=67人

　　②小明、小刚、小红都最对的题目至少有79+88+91-2×100=58人

　　③小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有79+88+91+89-3×100=47人。

　　容斥公式

　　也可表示为

　　设S为有限集,,则

　　两个集合的容斥关系公式：A∪B=A+B-A∩B(∩：重合的部分)

　　三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

　　详细推理如下：

　　1、等式右边改造={[(A+B-A∩B)+C-B∩C]-C∩A}+A∩B∩C

　　2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C

　　3、等式右边()里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：

　　那么A∪B∪C还缺部分7。

　　4、等式右边[]号里+C(4+5+6+7)后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，

　　减去B∩C(即5+6两部分)后，还多加了部分4。

　　5、等式右边{}里减去C∩A(即4+5两部分)后，A∪B∪C又多减了部分5，

　　则加上A∩B∩C(即5)刚好是A∪B∪C。

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