2017年中考数学试卷及答案(2)
2017年中考数学试卷答案
1.A
2.B 解析：利用反推法解答， 函数y=(x-1)2-4的顶点坐标为(1，-4)，其向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数y=x2+bx+c，又∵1-2=-1，-4+3=-1，∴平移前的函数顶点坐标为(-1，-1)，函数解析式为y=(x+1)2-1，即y=x2+2x，∴b=2，c=0.
3.D 4.C 5.C 6.B
7.k=0或k=-1 8.y=x2+1(答案不唯一)
9.解：(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0)，B(-1,0)，
∴抛物线的解析式为y=-(x-3)(x+1)，
即y=-x2+2x+3.
(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标为(1,4).
10.B 11.①③④
12.解：(1)将点O(0,0)代入，解得m=±1，
二次函数关系式为y=x2+2x或y=x2-2x.
(2)当m=2时，y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴D(2，-1).当x=0时，y=3，∴C(0,3).
(3)存在.接连接C，D交x轴于点P，则点P为所求.
由C(0,3)，D(2，-1)求得直线CD为y=-2x+3.
当y=0时，x=32，∴P32，0.
13.解：(1)将M(-2，-2)代入抛物线解析式，得
-2=1a(-2-2)(-2+a)，
解得a=4.
(2)①由(1)，得y=14(x-2)(x+4)，
当y=0时，得0=14(x-2)(x+4)，
解得x1=2，x2=-4.
∵点B在点C的左侧，∴B(-4,0)，C(2,0).
当x=0时，得y=-2，即E(0，-2).
∴S△BCE=12×6×2=6.
②由抛物线解析式y=14(x-2)(x+4)，得对称轴为直线x=-1，
根据C与B关于抛物线对称轴x=-1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求.
设直线BE的解析式为y=kx+b，
将B(-4,0)与E(0，-2)代入，得-4k+b=0，b=-2，
解得k=-12，b=-2.∴直线BE的解析式为y=-12x-2.
将x=-1代入，得y=12-2=-32，
则点H-1，-32.
14.(1)证明：∵二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，
∴抛物线的对称轴为x=2，即-n2m=2，
化简，得n+4m=0.
(2)解：∵二次函数y=mx2+nx+p与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1<0
∴OA=-x1，OB=x2，x1+x2=-nm，x1•x2=pm.
令x=0，得y=p，∴C(0，p).∴OC=|p|.
由三角函数定义，得tan∠CAO=OCOA=-|p|x1，tan∠CBO=OCOB=|p|x2.
∵tan∠CAO-tan∠CBO=1，即-|p|x1-|p|x2=1.
化简，得x1+x2x1•x2=-1|p|.
将x1+x2=-nm，x1•x2=pm代入，得-nmpm=-1|p|化简，得⇒n=p|p|=±1.
由(1)知n+4m=0，
∴当n=1时，m=-14;当n=-1时，m=14.
∴m，n的值为：m=14，n=-1(此时抛物线开口向上)或m=-14，n=1(此时抛物线开口向下).
(3)解：由(2)知，当p>0时，n=1，m=-14，
∴抛物线解析式为：y=-14x2+x+p.
联立抛物线y=-14x2+x+p与直线y=x+3解析式得到-14x2+x+p=x+3，
化简，得x2-4(p-3)=0.
∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，
∴一元二次方程根的判别式等于0，
即Δ=02+16(p-3)=0，解得p=3.
∴y=-14x2+x+3=-14(x-2)2+4.
当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4.
15.解：(1)设此抛物线的解析式为y=a(x-3)2+4，
此抛物线过点A(0，-5)，
∴-5=a(0-3)2+4，∴a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-3)2+4，
即y=-x2+6x-5.
(2)抛物线的对称轴与⊙C相离.
证明：令y=0，即-x2+6x-5=0，得x=1或x=5，
∴B(1,0)，C(5,0).
设切点为E，连接CE，
由题意，得，Rt△ABO∽Rt△BCE.
∴ABBC=OBCE，即12+524=1CE，
解得CE=426.
∵以点C为圆心的圆与直线BD相切，⊙C的半径为r=d=426.
又点C到抛物线对称轴的距离为5-3=2，而2>426.
则此时抛物线的对称轴与⊙C相离.
(3)假设存在满足条件的点P(xp，yp)，
∵A(0，-5)，C(5,0)，
∴AC2=50，
AP2=(xp-0)2+(yp+5)2=x2p+y2p+10yp+25，CP2=(xp-5)2+(yp-0)2=x2p+y2p-10xp+25.
①当∠A=90°时，在Rt△CAP中，
由勾股定理，得AC2+AP2=CP2，
∴50+x2p+y2p+10yp+25=x2p+y2p-10xp+25，
整理，得xp+yp+5=0.
∵点P(xp，yp)在抛物线y=-x2+6x-5上，
∴yp=-x2p+6xp-5.
∴xp+(-x2p+6xp-5)+5=0，
解得xp=7或xp=0，∴yp=-12或yp=-5.
∴点P为(7，-12)或(0，-5)(舍去).
②当∠C=90°时，在Rt△ACP中，
由勾股定理，得AC2+CP2=AP2，
∴50+x2p+y2p-10xp+25=x2p+y2p+10yp+25，
整理，得xp+yp-5=0.
∵点P(xp，yp)在抛物线y=-x2+6x-5上，
∴yp=-x2p+6xp-5，
∴xp+(-x2p+6xp-5)-5=0，
解得xp=2或xp=5，∴yp=3或yp=0.
∴点P为(2,3)或(5,0)(舍去)
综上所述，满足条件的点P的坐标为(7，-12)或(2,3).
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