自考《线性代数》重难点解析与全真练习
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未知2
公共课
第一章 行列式
一、重点
1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。
2、掌握：行列式的基本性质及推论。
3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。
二、难点
行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。
三、重要公式
1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│
2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│。│B│
3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1
若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1
4、若A为n阶方阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi
四、题型及解题思路
1、有关行列式概念与性质的命题
2、行列式的计算（方法）
1）利用定义
2）按某行（列）展开使行列式降阶
3）利用行列式的性质
①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。
②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。
③逐次行（列）相加减，化简行列式。
④把行列式拆成几个行列式的和差。
4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式
5）数学归纳法，多用于证明
3、运用克莱姆法则求解线性方程组
若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即
x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D
其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。
注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。
4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题
1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）
2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出。
一、重点
1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）
2、掌握：
1）矩阵的各种运算及运算规律
2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法
3）矩阵的初等变换方法
二、难点
1、矩阵的求逆矩阵的初等变换
2、初等变换与初等矩阵的关系
三、重要公式及难点解析
1、线性运算
1）交换律一般不成立，即AB≠BA
2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵
（A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2
（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2
（AB）k≠AkBk
（A+B）（A-B）≠A2-B2
以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。
3）由AB=0不能得出A=0或B=0
4）由AB=AC不能得出B=C
5）由A2=A不能得出A=I或A=0
6）由A2=0不能得出A=0
7）数乘矩阵与数乘行列式的区别
2、逆矩阵
1）（A–1）–1＝A
2）（kA） –1=（1/k）A–1，（k≠0）
3）（AB）–1=B–1A–1
4）（A–1）T=（AT）–1
5）│A–1│=│A│–1
3、矩阵转置
1）（AT）T＝A
2）（kA） T=kAT，（k为任意实数）
3）（AB）T=BTAT
4）（A+B）T=AT+BT
4、伴随矩阵
1）A*A＝A A*=│A│I （AB）*=B*A*
2）（A*）*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ，（n≥2）
3）（kA）*=kn-1A* （A*）T=（AT）*
4）若r（A）=n，则r （A*）=n
若r（A）=n-1，则r （A*）=1
若r（A）<n-1，则r （A*）=0
5）若A可逆，则（A*）-1=（1/│A│）A，（A*）-1＝（A-1）*，A*＝│A│A-1
5、初等变换（三种）
1）对调二行（列）
2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素
3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素
注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用
②求逆阵，只能用行或列变换
③求线性方程组的解，只能用行变换
6、初等矩阵
1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵
2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换
3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵
E-1ij=Eij，E（-1）i（k）=Ei（1/k），E（-1）ij（k）=Eij（-k）
7、矩阵方程
1）含有未知矩阵的等式
2）矩阵方程有解的充要条件
AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表示
<==>r（A）=r（A┆B）
四、题型及解题思路
1、有关矩阵的概念及性质的命题
2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）
3、矩阵可逆的判定
n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B，有AB=BA=I
<==>│A│≠0
<==>r（A）=n
<==>A的列（行）向量组线性无关
<==>Ax=0只有零解
<==>任意b，使得Ax=b总有唯一解
<==>A的特征值全不为零
4、矩阵求逆
1）定义法：找出B使AB=I或BA=I
2）伴随阵法：A-1=（1/│A│）A*
注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏（-1）i+j，当n>3时，通常用初等变换法。
3）初等变换法：对（A┆I）只用行变换化为（I┆A-1）
4）分块矩阵法
5、解矩阵方程AX=B
1）若A可逆，则X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X
2）若A可逆，可用初等变换法直接求出X
（A┆B）初等行变换（I┆X）
3）若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。
一、重点
1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。
2、掌握：行列式的基本性质及推论。
3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。
二、难点
行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。
三、重要公式
1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│
2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│。│B│
3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1
若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1
4、若A为n阶方阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi
四、题型及解题思路
1、有关行列式概念与性质的命题
2、行列式的计算（方法）
1）利用定义
2）按某行（列）展开使行列式降阶
3）利用行列式的性质
①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。
②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。
③逐次行（列）相加减，化简行列式。
④把行列式拆成几个行列式的和差。
4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式
5）数学归纳法，多用于证明
3、运用克莱姆法则求解线性方程组
若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即
x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D
其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。
注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。
4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题
1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）
2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出。
一、重点
1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）
2、掌握：
1）矩阵的各种运算及运算规律
2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法
3）矩阵的初等变换方法
二、难点
1、矩阵的求逆矩阵的初等变换
2、初等变换与初等矩阵的关系
三、重要公式及难点解析
1、线性运算
1）交换律一般不成立，即AB≠BA
2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵
（A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2
（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2
（AB）k≠AkBk
（A+B）（A-B）≠A2-B2
以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。
3）由AB=0不能得出A=0或B=0
4）由AB=AC不能得出B=C
5）由A2=A不能得出A=I或A=0
6）由A2=0不能得出A=0
7）数乘矩阵与数乘行列式的区别
2、逆矩阵
1）（A–1）–1＝A
2）（kA） –1=（1/k）A–1，（k≠0）
3）（AB）–1=B–1A–1
4）（A–1）T=（AT）–1
5）│A–1│=│A│–1
3、矩阵转置
1）（AT）T＝A
2）（kA） T=kAT，（k为任意实数）
3）（AB）T=BTAT
4）（A+B）T=AT+BT
4、伴随矩阵
1）A*A＝A A*=│A│I （AB）*=B*A*
2）（A*）*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ，（n≥2）
3）（kA）*=kn-1A* （A*）T=（AT）*
4）若r（A）=n，则r （A*）=n
若r（A）=n-1，则r （A*）=1
若r（A）<n-1，则r （A*）=0
5）若A可逆，则（A*）-1=（1/│A│）A，（A*）-1＝（A-1）*，A*＝│A│A-1
5、初等变换（三种）
1）对调二行（列）
2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素
3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素
注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用
②求逆阵，只能用行或列变换
③求线性方程组的解，只能用行变换
6、初等矩阵
1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵
2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换
3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵
E-1ij=Eij，E（-1）i（k）=Ei（1/k），E（-1）ij（k）=Eij（-k）
7、矩阵方程
1）含有未知矩阵的等式
2）矩阵方程有解的充要条件
AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表示
<==>r（A）=r（A┆B）
四、题型及解题思路
1、有关矩阵的概念及性质的命题
2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）
3、矩阵可逆的判定
n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B，有AB=BA=I
<==>│A│≠0
<==>r（A）=n
<==>A的列（行）向量组线性无关
<==>Ax=0只有零解
<==>任意b，使得Ax=b总有唯一解
<==>A的特征值全不为零
4、矩阵求逆
1）定义法：找出B使AB=I或BA=I
2）伴随阵法：A-1=（1/│A│）A*
注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏（-1）i+j，当n>3时，通常用初等变换法。
3）初等变换法：对（A┆I）只用行变换化为（I┆A-1）
4）分块矩阵法
5、解矩阵方程AX=B
1）若A可逆，则X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X
2）若A可逆，可用初等变换法直接求出X
（A┆B）初等行变换（I┆X）
3）若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。