解析几何中求参数取值范围的方法
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数学备考
解析几何中求参数取值范围的方法
近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法。
例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0）， A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0 ， 0）
求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.
解: 设A，B坐标分别为（x1，y1） ，（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1
又∵线段AB的垂直平分线方程为
y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）
令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2
又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点
∴-a≤x1≤a， -a≤x2≤a， x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a
∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.
分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题。
解: 依题意有
∴tanθ=2S
∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4
又∵0≤θ≤π
∴π4 <θ< p>
例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是
A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>
分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.
解: 设Q（ y024 ，y0） 由|PQ| ≥a
得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a） ≥0
∵y02≥0 ∴（y02+16-8a） ≥0即a≤2+ y028 恒成立
又∵ y02≥0
而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）
二、利用判别式构造不等式
在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解。
例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是
A [-12 ，12 ] B [-2，2] C [-1，1] D [-4，4]
分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0
解:依题意知Q坐标为（-2，0） ， 则直线L的方程为y = k（x+2）
由 得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0
∵直线L与抛物线有公共点
∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 （C）
例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围。
分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式。
解：由 得 （k2-2）x2 +2kx+2 = 0
∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则 解得 -2<-2< p>
近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式
曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法。
例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0）， A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0 ， 0）
求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.
解: 设A，B坐标分别为（x1，y1） ，（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1
又∵线段AB的垂直平分线方程为
y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）
令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2
又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点
∴-a≤x1≤a， -a≤x2≤a， x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a
∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a
例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.
分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题。
解: 依题意有
∴tanθ=2S
∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4
又∵0≤θ≤π
∴π4 <θ< p>
例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是
A a<0 B a≤2 C 0≤a≤2 D 0<2< p>
分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.
解: 设Q（ y024 ，y0） 由|PQ| ≥a
得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a） ≥0
∵y02≥0 ∴（y02+16-8a） ≥0即a≤2+ y028 恒成立
又∵ y02≥0
而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）
二、利用判别式构造不等式
在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解。
例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是
A [-12 ，12 ] B [-2，2] C [-1，1] D [-4，4]
分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0
解:依题意知Q坐标为（-2，0） ， 则直线L的方程为y = k（x+2）
由 得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0
∵直线L与抛物线有公共点
∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 （C）
例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围。
分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式。
解：由 得 （k2-2）x2 +2kx+2 = 0
∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则 解得 -2<-2< p>