高考数学基础知识点(2)
第五部分 直线与圆
1.直线方程
⑴点斜式：;⑵斜截式：;⑶截距式：;
⑷两点式： ;⑸一般式：，(A，B不全为0)。
(直线的方向向量：(，法向量(
2.求解线性规划问题的步骤是：
(1)列约束条件;(2)作可行域，写目标函数;(3)确定目标函数的最优解。
3.两条直线的位置关系：
4.直线系
5.几个公式
⑴设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，⊿ABC的重心G：();
⑵点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离：;
⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是;
6.圆的方程：
⑴标准方程：①;②。
⑵一般方程： (
注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆 A=C≠0且B=0且D2+E2-4AF>0;
7.圆的方程的求法：⑴待定系数法;⑵几何法;⑶圆系法。
8.圆系：
⑴;
注：当时表示两圆交线。
⑵。
9.点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法)
⑴点与圆的位置关系：(表示点到圆心的距离)
①点在圆上;②点在圆内;③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：(表示圆心到直线的距离)
①相切;②相交;③相离。
⑶圆与圆的位置关系：(表示圆心距，表示两圆半径，且)
①相离;②外切;③相交;
④内切;⑤内含。
10.与圆有关的结论：
⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2;
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
⑵以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
第六部分 圆锥曲线
1.定义：⑴椭圆：;
⑵双曲线：;⑶抛物线：略
2.结论
⑴焦半径：①椭圆：(e为离心率);(左“+”右“-”);
②抛物线：
⑵弦长公式：
;
注：(Ⅰ)焦点弦长：①椭圆：;②抛物线：=x1+x2+p= ;(Ⅱ)通径(最短弦)：①椭圆、双曲线：;②抛物线：2p。
⑶过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： (同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线);
⑷椭圆中的结论：
①内接矩形最大面积：2ab;
②P，Q为椭圆上任意两点，且OP 0Q，则;
③椭圆焦点三角形：<Ⅰ>.，();<Ⅱ>.点是内心，交于点，则 ;
④当点与椭圆短轴顶点重合时最大;
⑸双曲线中的结论：
①双曲线(a>0,b>0)的渐近线：;
②共渐进线的双曲线标准方程为为参数， ≠0);
③双曲线焦点三角形：<Ⅰ>.，();<Ⅱ>.P是双曲线- =1(a>0，b>0)的左(右)支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为;
④双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直;
(6)抛物线中的结论：
①抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB性质：<Ⅰ>. x1x2= ;y1y2=-p2;
<Ⅱ>.;<Ⅲ>.以AB为直径的圆与准线相切;<Ⅳ>.以AF(或BF)为直径的圆与轴相切;<Ⅴ>.。
②抛物线y2=2px(p>0)内结直角三角形OAB的性质：
<Ⅰ>.; <Ⅱ>.恒过定点;
<Ⅲ>.中点轨迹方程：;<Ⅳ>.，则轨迹方程为：;<Ⅴ>.。
③抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点，则：
<Ⅰ>.当时，顶点到点A距离最小，最小值为;<Ⅱ>.当时，抛物线上有关于轴对称的两点到点A距离最小，最小值为。
3.直线与圆锥曲线问题解法：
⑴直接法(通法)：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。
注意以下问题：
①联立的关于“ ”还是关于“ ”的一元二次方程?
②直线斜率不存在时考虑了吗?
③判别式验证了吗?
⑵设而不求(代点相减法)：--------处理弦中点问题
步骤如下：①设点A(x1，y1)、B(x2,y2);②作差得;③解决问题。
4.求轨迹的常用方法：(1)定义法：利用圆锥曲线的定义;(2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法);⑷待定系数法;(5)参数法;(6)交轨法。
第七部分 平面向量
⑴设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则：① a‖b(b≠0) a= b ( x1y2-x2y1=0;
② a⊥b(a、b≠0) a•b=0 x1x2+y1y2=0 .
⑵a•b=|a||b|cos<a,b>=x2+y1y2;
注：①|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影;|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影;
6 a•b的几何意义：a•b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。
⑶cos<a,b>= ;
⑷三点共线的充要条件：P，A，B三点共线;
附：(理科)P，A，B，C四点共面。
第八部分 数列
1.定义：
⑴等差数列 ;
⑵等比数列
;
2.等差、等比数列性质
等差数列 等比数列
通项公式
前n项和
性质 ①an=am+ (n-m)d, ①an=amqn-m;
②m+n=p+q时am+an=ap+aq ②m+n=p+q时aman=apaq
③成AP ③成GP
④成AP, ④成GP,
等差数列特有性质：
1 项数为2n时：S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n);;;
2 项数为2n-1时：S2n-1=(2n-1) ;;;
3 若;若;
若。
3.数列通项的求法：
⑴分析法;⑵定义法(利用AP,GP的定义);⑶公式法：累加法(;
⑷叠乘法(型);⑸构造法(型);(6)迭代法;
⑺间接法(例如：);⑻作商法(型);⑼待定系数法;⑽(理科)数学归纳法。
注：当遇到时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式。
4.前项和的求法：
⑴拆、并、裂项法;⑵倒序相加法;⑶错位相减法。
5.等差数列前n项和最值的求法：
⑴ ;⑵利用二次函数的图象与性质。
第九部分不等式
1.均值不等式：
注意：①一正二定三相等;②变形，。
2.绝对值不等式：
3.不等式的性质：
⑴;⑵;⑶;
;⑷;;
;⑸;(6)
。
4.不等式等证明(主要)方法：
⑴比较法：作差或作比;⑵综合法;⑶分析法。
第十部分 复数
1.概念：
⑴z=a+bi∈R b=0 (a,b∈R) z= z2≥0;
⑵z=a+bi是虚数 b≠0(a,b∈R);
⑶z=a+bi是纯虚数 a=0且b≠0(a,b∈R) z+=0(z≠0) z2<0;
⑷a+bi=c+di a=c且c=d(a,b,c,d∈R);
2.复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R)，则：
(1) z 1± z2 = (a +b) ± (c + d)i;⑵ z1.z2 = (a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;⑶z1÷z2 = (z2≠0) ;
3.几个重要的结论：
;⑶;⑷
⑸性质：T=4;;
(6)以3为周期，且; =0;
(7)。
4.运算律：(1)
5.共轭的性质：⑴;⑵;⑶;⑷。
6.模的性质：⑴;⑵;⑶;⑷;
第十一部分 概率
1.事件的关系：
⑴事件B包含事件A：事件A发生，事件B一定发生，记作;
⑵事件A与事件B相等：若，则事件A与B相等，记作A=B;
⑶并(和)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作(或);
⑷并(积)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作(或);
⑸事件A与事件B互斥：若为不可能事件()，则事件A与互斥;
(6)对立事件：为不可能事件，为必然事件，则A与B互为对立事件。
2.概率公式：
⑴互斥事件(有一个发生)概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B);
⑵古典概型：;
⑶几何概型：;
第十二部分统计与统计案例
1.抽样方法
⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。
注：①每个个体被抽到的概率为;
②常用的简单随机抽样方法有：抽签法;随机数法。
⑵系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的
规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。
注：步骤：①编号;②分段;③在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号;
④按预先制定的规则抽取样本。
⑶分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。
注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数
2.总体特征数的估计：
⑴样本平均数;
⑵样本方差 ;
⑶样本标准差 = ;
3.相关系数(判定两个变量线性相关性)：
注：⑴ >0时，变量正相关; <0时，变量负相关;
⑵①越接近于1，两个变量的线性相关性越强;②接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
4.回归分析中回归效果的判定：
⑴总偏差平方和：⑵残差：;⑶残差平方和：;⑷回归平方和：-;⑸相关指数。
注：①得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好;
②越接近于1，，则回归效果越好。
5.独立性检验(分类变量关系)：
随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
第十四部分常用逻辑用语与推理证明
1.四种命题：
⑴原命题：若p则q; ⑵逆命题：若q则p;
⑶否命题：若 p则 q;⑷逆否命题：若 q则 p
注：原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。
2.充要条件的判断：
(1)定义法----正、反方向推理;
(2)利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B，则A是B的充要条件;
3.逻辑连接词：
⑴且(and) ：命题形式 p q; p q p q p q p
⑵或(or)：命题形式 p q; 真 真 真 真 假
⑶非(not)：命题形式 p . 真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
4.全称量词与存在量词
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示;
全称命题p：;
全称命题p的否定 p：。
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示;
特称命题p：;
特称命题p的否定 p：;
第十五部分推理与证明
1.推理：
⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
⑴大前提---------已知的一般结论;
⑵小前提---------所研究的特殊情况;
⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
二.证明
⒈直接证明
⑴综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)，这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2.间接证明------反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
附：数学归纳法(仅限理科)
一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行：
⑴证明当取第一个值是命题成立;
⑵假设当命题成立，证明当时命题也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。
这种证明方法叫数学归纳法。
注：①数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行;
3 的取值视题目而4 定，5 可能是1，6 也可能是2等。
第十六部分 理科选修部分
1.排列、组合和二项式定理
⑴排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列 =n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!;
⑵组合数公式：(m≤n), ;
⑶组合数性质：;
⑷二项式定理：
①通项：②注意二项式系数与系数的区别;
⑸二项式系数的性质：
①与首末两端等距离的二项式系数相等;②若n为偶数，中间一项(第+1项)二项式系数最大;若n为奇数，中间两项(第和+1项)二项式系数最大;
③
(6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时，注意运用赋值法。
2. 概率与统计
⑴随机变量的分布列：
①随机变量分布列的性质：pi≥0,i=1,2,…; p1+p2+…=1;
②离散型随机变量：
X x1 X2 … xn …
P P1 P2 … Pn …
期望：EX= x1p1 + x2p2 + …+ xnpn + … ;
方差：DX= ;
注：;
③两点分布：
X 0 1 期望：EX=p;方差：DX=p(1-p).
P 1-p p
4 超几何分布：
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，。
称分布列
X 0 1 … m
P …
为超几何分布列，称X服从超几何分布。
⑤二项分布(独立重复试验)：
若X～B(n,p),则EX=np, DX=np(1- p);注：。
⑵条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
注：①0 P(B|A) 1;②P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
⑶独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B)。
⑷正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数(期望值)与标准差;
(6)正态曲线的性质：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交;②曲线是单峰的，关于直线x=对称;
③曲线在x=处达到峰值;④曲线与x轴之间的面积为1;
5 当一定时，6 曲线随质的变化沿x轴平移;
7 当一定时，8 曲线形状由确定：越大，9 曲线越“矮胖”，10 表示总体分布越集中;
越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。
注：P =0.6826;P =0.9544
P =0.9974
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